Sistemi dinamici continui e discreti. Biforcazioni. Caos. Processi stocastici. Insiemi statistici. Processi di Markov. Sistemi estesi e campo medio. Transizioni di fase dinamiche. Richiami di termodinamica. Meccanica statistica di equilibrio. Modello di Ising. Il metodo Monte-Carlo. Sistemi disordinati e frustrati. Ottimizzazione stocastica. Complessità algoritmica. Teoria delle reti. Dinamiche epidemiche. Sociofisica. Reti neurali. Teoria dell'evoluzione. Teoria dei giochi ripetuti.
Luca Peliti, Appunti di meccanica statistica, Bollati Boringhieri 2003, ISBN- 13: 9788833957128.
Steven Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering, Westview Press 1994, ISBN-13: 9780738204536
Werner Krauth, Statistical Mechanics: Algorithms and Computations, Oxford University Press 2006, ISBN-13: 978-0198515364
Crispin W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods, Springer 2009, ISBN-13: 9783540707127
Obiettivi Formativi
Il corso si propone di fornire una visione globale della fisica dei sistemi estesi (composti da molti elementi), con un approccio computazionale. Si cercherà di mostrare l'origine di approcci così apparentemente diversi come quelli basati sui sistemi dinamici, sui processi stocastici e sulla meccanica statistica di equilibrio riescano a fornire visioni diverse e complementari di problemi complessi.
Si rimanda al corso di Meccanica Statistica I per un approfondimento della parte di equilibrio. La teoria dei sistemi dinamici viene approfondita nei corsi di Fisica dei Sistemi Complessi (con particolare enfasi sui sistemi di reazione-diffusione) e nel corso "Sistemi Dinamici" (soprattutto per i sistemi hamiltoniani).
Gran parte dei programmi usati in questo corso vengono sviluppati nel corso "Laboratorio di Fisica Computazionale".
Conoscenze acquisite:
-Basi della teoria dei sistemi dinamici continui e discreti
-Idea intuitiva della teoria del caos.
-Elementi di base dei processi stocastici.
-Introduzione alla meccanica statistica di equilibrio
-Alcune tecniche di simulazione numerica nei processi dinamici, stocastici e della meccanica statistica.
-Concetto di ottimizzazione globale.
Competenze acquisite:
-Esempi di problemi complessi e di come si può usare la meccanica statistica per trattarli.
-Idea dei temi di ricerca attuali in meccanica statistica in relazione all'informatica (reti, sistemi disordinati e problemi combinatori, evoluzione, teoria dei giochi ed algoritmi genetici, modelli sociali, psicologici e modelli di epidemie).
Capacità acquisite al termine del corso:
-Elementi della teoria dei sistemi dinamici.
-Elementi della teoria dei processi di Markov.
-Conoscenza degli aspetti fondamentali della meccanica statistica di equilibrio.
-Teoria e pratica delle simulazioni Monte-Carlo.
-Elementi della teoria dell'ottimizzazione stocastica, in particolare applicata ai problemi combinatori.
-Conoscenza di alcuni aspetti delle applicazioni attuali della fisica statistica.
Prerequisiti
-Conoscenza di base di fisica e termodinamica.
-Calcolo differenziale in più variabili, equazioni differenziali.
-Conoscenza degli elementi di base della programmazione in C e dell'uso di un sistema operativo.
Metodi Didattici
6 CFU
Attività in aula: 48 ore
Altre Informazioni
Ricevimento studenti: su appuntamento, a S. marta o in viale Morgagni o a Fisica, o anche via skype/google hangout. Scrivere a franco.bagnoli@unifi.it.
Sito web: http://fisico.complexworld.net/teaching e sul sistema e-learning di ateno http://e-l.unifi.it
Modalità di verifica apprendimento
Tre piccole ricerche (elaborati di una pagina) da svolgersi singolarmente su argomenti delle tre sezioni del corso (sistemi dinamici, sistemi sticastici, meccanica statistica) e un elaborato su un progetto (modello, programma, simulazioni) da fare in gruppo.
Programma del corso
Introduzione al corso. La fisica statistica e la teoria dell'informazione. Dalle equazioni deterministiche del moto all'approccio stocastico. I metodi analitici e numerici della fisica statistica. Applicazioni al problema dell'ottimizzazione globale. La fisica statistica oggi. Esempi di applicazione alla scienza dei sistemi e dell'informazione.
Sistemi dinamici continui. Punti fissi, stabilità, cicli limite, biforcazioni, chaos. Esponenti di Lyapunov. Sezioni, visioni stroboscopiche. Le mappe dell'intervallo. Esempi. Illustrazione grafica (coweb). Punti fissi. Stabilità, traiettorie, transienti, bacino di attrazione. Cicli limite e punti fissi della mappa iterata. Mappa logistica. Biforcazioni.
Istogrammi e distribuzioni di probabilità. Analisi di serie temporali e ricostruzione dell'attrattore. L'importanza della risoluzione temporale.
Processi stocastici. Il random walk. La generazione di numeri casuali nei computer. Implementazione di un processo stocastico. Osservabili. Parametri di controllo e parametri d'ordine. Traiettorie stocastiche e deterministiche.
Insiemi statistici. La distribuzione di probabilità statistica. Distribuzioni binomiale, Poisson e Gauss. Valori medi e fluttuazioni. Momenti. Teorema del limite centrale.
Markov. Evoluzione della distribuzione di probabilità. L'approssimazione di Markov. Classificazione degli stati. Ergodicità. Unicità dello stato asintotico. Rilassamento allo stato asintotico e correlazioni.
Sistemi estesi. Automi cellulari. Percolazione diretta. Il modello di Domany-Kinzel. Lo stato del sistema. Campo medio e transizioni di fase. Distribuzioni di probabilità ridotte. Il campo medio.
Transizioni di fase dinamiche. Esempi numerici. La lunghezza di correlazione. Osservabili ed esponenti critici. Analisi di campo medio e biforcazioni. Universalità.
Richiami di termodinamica. Sistemi e variabili termodinamiche. Equilibrio termico e meccanico. Primo principio della termodinamica. Equazioni di stato. Potenziali termodinamici. Sistemi magnetici e gas perfetto.
Meccanica statistica di equilibrio. Entropia e informazione. Il principio di massima entropia. La distribuzione microcanica e canonica (Boltzmann). La funzione di partizione. Energia libera ed osservabili. Proprietà della funzione di partizione.
Il modello di Ising. Analisi del comportamento di un solo spin isolato. Il modello di ising su un grafo completamente connesso. Transizioni di fase. Analisi di campo medio e modelli su alberi.
Il metodo Monte-Carlo. Implementazione e fenomenologia del modello di Ising su reticolo. Lunghezza di correlazione. Rinormalizzazione.
Argomenti seminariali:
Sistemi disordinati e frustrati. Il modello di Ising in campo random. Vincoli e fluttuazioni. spin-glass
Complessità algoritmica. K-sat e commesso viaggiatore.
Ottimizzazione stocastica. Simulating annealing. Applicazione al modello di Ising ordinato e disordinato ed al commesso viaggiatore.
Teoria delle reti. Matrice di adiacenza; reticoli regolari, grafi, alberi. Dinamica su alberi e grafi. L'effetto smallworld. Le reti sociali.
Dinamiche epidemiche. Modelli di epidemia. Modelli SIS, SIR; SEIR, etc. Connessione con la percolazione e la percolazione diretta. La soglia minima di infettività. Epidemie su reti scale-free.
Sociofisica. Modelli di formazione delle opinioni. Modelli maggioritari e minoritari.
Reti neurali. Il neurone. Il modello di Hopfield. Le reti neurali. Il neurone formale di McCullogh e Pitts. Attractor neural network. Apprendimento e generalizzazione nelle reti neurali.
Teoria dell'evoluzione. Mutazioni, fitness, selezione. La coevoluzione. La competizione. Algoritmi genetici.