Dispense del corso. Si veda la pagina del corso su:
https://e-l.unifi.it/
Obiettivi Formativi
ll corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti conoscenze e capacità di comprensione basilari in Teoria dei gruppi e nella Teoria di Galois. Particolare attenzione viene posta a sviluppare negli studenti le abilità logico deduttive e il rigore formale. Il corso copre argomenti e fornisce capacità di apprendimento che sono necessari, o fortemente consigliati, per il proseguimento degli studi nel CdS.
Prerequisiti
Algebra I
Metodi Didattici
Lezioni frontali: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia.
Esercitazioni: guida per gli studenti alla risoluzione di una vasta scelta di problemi variegati in Teoria dei Gruppi e Teoria di Galois. Le esercitazioni sono condotte in modo da:
-- aiutare gli studenti a sviluppare le capacità di applicare e comunicare le conoscenze acquisite;
-- migliorare la loro indipendenza di giudizio.
Piattaforma Moodle: sviluppo dell’interazione online docente-studente, diffusione di dispense integrative, di esercizi settimanali, di testi delle prove scritte degli anni passati.
Nota: I testi e le dispense proposti o consigliati contengono materiale di approfondimento importante per il prosieguo degli studi nel CdS e in qualunque ambito scientifico.
Modalità di verifica apprendimento
Prove intermedie e prova finale scritta: Viene proposta una scelta di esercizi. Le prove sono strutturate per valutare la capacità degli studenti di applicare le conoscenze teoriche e tecniche da loro acquisite alla soluzione di problemi e allo sviluppo di rigorosi processi dimostrativi. Vengono valutate con particolare attenzione sia la correttezza dei procedimenti seguiti, sia l'originalità dei metodi adottati e la loro efficacia.
Prova orale: Vengono poste alcune domande. La prova è strutturata per verificare la conoscenza e il grado di comprensione della teoria svolta nel corso. Vengono valutate con particolare attenzione sia la capacità di comunicare la materia in modo critico, sia l’uso di un linguaggio matematico appropriato.
Programma del corso
Parte I: Teoria dei Gruppi
Operazioni, potenze, omomorfismi e isomorfismi.
Gruppi, definizioni e sottogruppi. Classi laterali, indice, Teorema di Lagrange. Il gruppo $S_3$. Gruppi ciclici, ordine di un elemento.
Sottogruppi normali, criterio di normalit\`a, gruppo quoziente. Omomorfismi e isomorfismi, nucleo di un omomorfismo. Teoremi di omomorfismo (primo e secondo). Teorema di corrispondenza. Prodotto di sottogruppi. Prodotto diretto di gruppi. Gruppi diedrali. Automorfismi, coniugio.
Permutazioni, cicli e decomposizione in cicli. Decomposizione in prodotto di trasposizioni. Segno di una permutazione. Gruppo simmetrico e gruppo alterno. Teorema di Cayley. Azioni di gruppi su insiemi, teorema orbita--stabilizzatore, equazione delle orbite. Applicazioni: punti fissi per azioni di p-gruppi. L'azione per coniugio, centro di un p-gruppo, la formula delle classi, normalizzanti e centralizzanti. Teoremi di Sylow.
Parte II: {\sc Teoria dei Campi}
Estensioni di campi. Grado di un estensione, formula dei gradi. Elementi algebrici e trascendenti,. Estensioni semplici. Estensioni algebriche, chiusura algebrica in una estensione. Campo dei numeri algebrici. Campi di spezzamento, esistenza ed $F$-isomorfismi. Estensioni normali, caratterizzazione dei campi di spezzamento. Radici multiple, polinomio derivato, polinomi ed estensioni separabili. Definizione di campo perfetto e dimostrazione che i campi finiti sono perfetti. Esempio di estensione algebrica non separabile.
Gruppo di Galois. Estensioni di Galois e ordine del loro gruppo di Galois. Azione del gruppo di Galois come gruppo di permutazioni. Campi finiti: esistenza e unicit\`a. Radici dell'unit\`a in campi finiti. Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un campo sono ciclici. Lemma di Artin. Connessione di Galois.