Introduzione alle equazioni differenziali. Studio qualitativo del moto unidimensionale. Moto centrale, leggi di Keplero.
Meccanica lagrangiana per i sistemi liberi e vincolati. Principi variazionali. Cinematica e dinamica dei sistemi rigidi. Introduzione alla meccanica hamiltoniana
- Lezioni di Sistemi Dinamici, Riccardo Ricci, A cura di: L. Barletti, A. Farina. L. Fusi, F. Talamucci, Firenze University Press, 2016
- Dispense fornite dai docenti, sulla piattaforma Moodle
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Introduzione alla modellazione matematica di fenomeni naturali complessi e al loro trattamento con strumenti matematici avanzati, muovendosi nell'ambito della meccanica classica.
Competenze e capacità acquisite (al termine del corso):
Scrivere le equazioni di moto di sistemi meccanici, discuterne la risolubilità.
Essere capaci di impostare il modello matematico di semplici sistemi meccanici e studiare i relativi problemi matematici.
Lezioni frontali: esposizione critica della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia Esercitazioni: guida per gli studenti alla risoluzione di una vasta scelta di problemi variegati riguardanti la meccanica. Le esercitazioni sono condotte in modo da aiutare gli studenti a sviluppare le capacità di applicare e comunicare le conoscenze acquisite.CFU: 12
Numero di ore totali del corso: 300
Studio personale e altre attività formative di tipo individuale: ore 174
Lezioni in aula: ore 60
Lezioni in laboratorio: 0
Esercitazioni: ore 60
Attivita’ seminariali: 0
Stage: 0
Numero di prove in itinere 2 (di due ore ciascuna).
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni: Raccomandata
Piattaforma Moodle: raccolte di esercizi e testi di prove d’esame.
Orario di ricevimento del Prof. Farina, su appuntamento
Dipartimento di Matematica e Informatica "Ulisse Dini"
Viale Morgagni, 67/a
50134 - Firenze (FI)
Tel: 055 2751435
E-Mail: angiolo.farina@ unifi.it
Modalità di verifica apprendimento
L’esame finale ha lo scopo di accertare l’acquisizione delle conoscenze e delle abilità tramite lo svolgimento di una prova scritta della durata di 2 ore e di una prova orale.
Tipicamente, il primo esercizio riguarda lo studio qualitativo del moto unidimensionale, del moto centrale, del moto di un punto vincolato su una superficie; il secondo esercizio è inerente alla geometria, alla cinematica ed alla dinamica del moto dei sistemi rigidi.
Sono previste prove scritte intermedie per conseguire l'esonero dalla prova scritta, le cui modalità vengono illustrate dai docenti all'inizio del corso.
La prova orale consiste in una colloquio tecnico volto a verificare le conoscenze, le competenze e le capacità dell'allievo.
Programma del corso
Per gli argomenti contrassegnati DM: vanno consultate anche le dispense presenti sulla piattaforma MOODLE, oltre al libro di testo
1. LA STRUTTURA GEOMETRICA DELLO SPAZIO DEL MOTO (DM)
Vettori liberi, vettori applicati, Spazi affini
Componenti controvarianti e covarianti in uno spazio vettoriale
Sistemi di riferimento e coordinate in uno spazio affine
Principali sistemi di riferimento e coordinate nello spazio del moto
2. VETTORI APPLICATI E MOMENTI (DM)
Il prodotto vettoriale, definizione e proprietà
Campo dei momenti di un vettore applicato, piano rappresentativo
Sistemi di vettori applicati, invariante, asse centrale
Sistemi di vettori equivalenti, applicazioni
3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Considerazioni generali
Il problema di Cauchy
Equazioni autonome
Equazioni reversibili
Equazioni integrabili
Il caso conservativo
Analisi qualitativa nel caso conservativo
Il piano delle fasi
Punti di equilibrio, stabilità
Il criterio di Lyapunov
Asintotica stabilità
Sistemi conservativi
I potenziali isocroni (brevi cenni)
Limite del periodo per E -> 0
Sistemi lineari bidimensionali
Moto armonico smorzato e forzato
4. EQUAZIONI DI LAGRANGE
Equazioni di Lagrange
Coordinate curvilinee e base locale
Forze conservative
Equazioni di Lagrange per un punto materiale
Variabili cicliche e funzione d Routh
5. IL MOTO CENTRALE (DM)
Cinematica e dinamica del moto centrale
Studio qualitativo mediante il potenziale efficace
Prima e seconda forma delle orbite
La forza centrale elastica
La forza newtoniana
Le tre leggi di Keplero
6. SISTEMI VINCOLATI E COORDINATE LAGRANGIANE
Sistemi olonomi
Coordinate lagrangiane
Spostamenti virtuali
7. LE EQUAZIONI DI MOTO
Moto di un punto materiale vincolato su una superficie
Equazione simbolica della statica ed equazione simbolica della dinamica
Le equazioni di Lagrange
Risolubilità delle equazioni di Lagrange
Invarianza delle equazioni di Lagrange
Coordinate cicliche
La funzione Hamiltoniana e la conservazione dell’energia
Equilibrio
Piccole Oscillazioni
8. CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI
Moti di un corpo rigido
Formula fondamentale per la velocità di un sistema rigido
Angoli di Eulero
Asse istantaneo di moto, rigate del moto
Cinematica relativa: composizione delle velocità
Formula di Poisson
Composizione di moti rigidi
Cinematica relativa: l’accelerazione
9. DINAMICA DEI SISTEMI RIGIDI
Il centro di massa
Il momento angolare
Geometria delle masse
Momenti d’inerzia
Omografia d’inerzia, matrice d’inerzia e terna principale d’inerzia
Ellissoide d’inerzia
Determinazione della terna principale d’inerzia nel caso di sistemi piani
Le equazioni cardinali
Le equazioni cardinali sono sufficienti per determinare il moto dei rigidi
Momento angolare, energia cinetica e seconda equazione cardinale peri sistemi rigidi
Le precessioni per inerzia
Le equazioni di Eulero
Risoluzione dell’equazione di Eulero nel caso di precessioni per inerzia
Il moto à la Poinsot
Lagrangiana del corpo rigido
10. PRINCIPI VARIAZIONALI
Principi variazionali
La brachistocrona
L’equazione di Eulero-Lagrange
Il principio di Hamilton
11. IL SISTEMA CANONICO
Derivazione delle equazioni di Hamilton
Il Teorema di Liouville