Discretizzazione di problemi ellittici. Elementi di elaborazione e ricostruzione di immagini. Fattorizzazioni spettrali di matrici strutturate (Toeplitz, Hankel, circolanti). Metodi diretti per matrici sparse (cenni). Metodi iterativi per sistemi lineari: metodi di Richardson; metodo del gradiente. Metodi di Krylov: metodo del gradiente coniugato; algoritmo di Arnoldi e metodo GMRES; precondizionamento. Metodi di Newton inesatti per sistemi non lineari; metodo Newton-GMRES.
C.T. Kelley, "Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations", Frontiers in Applied Mathematics, v. 16, SIAM, Philadelphia, 1995.
P.C. Hansen, J.G. Nagy, D.P. O’Leary, “Deblurring Images. Matrices, Spectra and Filtering”,Fundamentals of Algorithms, SIAM, Philadelphia, 2006.
Obiettivi Formativi
Conoscenze: In molte applicazioni pratiche della matematica nasce l’esigenza di risolvere sistemi di equazioni lineari e non, che possono coinvolgere un numero anche molto elevato di variabili. Obiettivo del corso e’ fornire conoscenze specifiche sui metodi numerici per la risoluzione di questi problemi, con particolare attenzione verso le metodologie che consentono di risolvere in modo efficiente sistemi lineari di grandi dimensioni.
Competenze acquisite Il corso si propone di illustrare l’applicazione dei metodi numerici considerati, e di analizzarne il comportamento pratico, attraverso la risoluzione in ambiente Matlab di alcuni problemi di grandi dimensioni, che nascono dalla discretizzazione di problemi ellittici e nell’ambito della ricostruzione di immagini.
Capacità acquisite al termine del corso: Conoscenza dell’algebra lineare che si cela dietro molti problemi applicativi, come quelli che nascononell’ambito della elaborazione di immagini, e dei principali metodi numerici per la risoluzione di sistemidi grandi dimensioni, lineari e non lineari. Capacita’ di sviluppare semplici programmi e di utilizzare il software disponibile in Matlab, per risolvere alcuni problemi che nascono dalla discretizzazione diproblemi ellittici e nell’ambito della ricostruzione di immagini. Capacita’ di interpretare i risultati numerici ottenuti.
Prerequisiti
Corsi raccomandati: Analisi Numerica I
Metodi Didattici
Numero di ore totali del corso: 225
Numero di ore per studio personale e altre attività formative di tipo individuale: 162
Numero di ore relative alle attività in aula: 63
Altre Informazioni
Orario di ricevimento
Martedi' 14.00-16.00 e su appuntamento (contattare il docente per e-mail)
Modalità di verifica apprendimento
Orale
Programma del corso
Discretizzazione di problemi ellittici mediante differenze finite (cenni). Introduzione alla ricostruzione di immagini (deblurring): rappresentazione e memorizzazione di un’immagine; operatori di blurring; matrici di Toeplitz, di Hankel, circolanti, e fattorizzazioni spettrali; tecniche di regolarizzazione e filtraggio spettrale. Metodi diretti per matrici sparse di grandi dimensioni (cenni). Metodi iterativi per sistemi lineari di grandi dimensioni: richiami sui metodi stazionari; metodi di Richardson rilassati; risultati di convergenza. Generalita’ sui metodi non stazionari; metodo del gradiente e sue proprieta’ di convergenza. Introduzione ai metodi di Krylov: proprieta’ di minimizzazione e di convergenza; esempio di algoritmo per il metodo del gradiente coniugato; algoritmo di Arnoldi e metodo GMRES; tecniche di precondizionamento; precondizionamento con fattorizzazioni incomplete. Metodo di Newton e metodi di Newton inesatti per sistemi non lineari; proprietà di convergenza e questioni algoritmiche; metodo di Newton-GMRES alle differenze. Risoluzione di semplici problemi ellittici e ricostruzione di immagini in Matlab.