Varieta' differenziabili. Spazio tangente. Applicazioni, immersioni e sottovarieta'. Campi di vettori e fibrato tangente. Flussi locali e campi vettoriali. La parentesi di Poisson e la derivata di Lie. Fibrati. Teoremi di struttura. Operazioni sui fibrati. Prodotto tensore di fibrati vettoriali. Metriche su di un fibrato vettoriale. Varieta' riemanniane. I fibrati delle forme differenziali su una varieta' . Gruppi di Coomologia di deRham. Connessioni. Curvatura. La connessione di Levi-Civita.
G. Gentili, F. Podesta’, E. Vesentini, LEZIONI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE, Bollati Boringhieri, Torino, 1995.
S. Helgason, DIFFERENTIAL GEOMETRY, LIE GROUPS AND SYMMETRIC SPACES, Academic Press, 1978.
W. M. Boothby, AN INTRODUCTION TO DIFFERENTIABLE MANIFOLDS AND RIEMANNIAN GEOMETRY, Academic Press, 1975.
Obiettivi Formativi
Il Corso intende fornire conoscenze e capacita’ tecniche di base in Geometria Differenziale delle varieta’ e dei fibrati. Gli argomenti sviluppati nel Corso e le capacita’ tecniche messe a punto sono necessarie, o comunque molto importanti, per un apprendimento accurato di un largo spettro di argomenti avanzati di matematica, per esempio di geometria algebrica, geometria differenziale e riemanniana, analisi reale e complessa, fisica matematica, topologia differenziale.
Prerequisiti
Sono prerequisiti la conoscenza di argomenti di base in analisi in una e piu` variabili reali, di algebra lineare, di topolgia generale (compattezza, connessione, continuita’), di geometria differenziale delle superficie dello spazio a tre dimensioni.
Metodi Didattici
Numero di ore totali del corso: 225
Numero di ore per studio personale e altre attività formative di tipo individuale: 129
Numero di ore relative alle attività in aula: 45
Numero di ore relative ad attività di laboratorio (lezioni in laboratorio): 0
Numero di ore relative ad attività di esercitazioni (in laboratorio e in campo): 45
Numero di ore relative ad attività seminariali: 0
Numero di ore relative ad attività di stage: 0
Numero di ore per prove in itinere: 6
Altre Informazioni
Orario di ricevimento
Per appuntamento (contattare il docente per telefono o e-mail)
Modalità di verifica apprendimento
Prova scritta (eventualmente sostituita da prove intermedie) e orale.
Programma del corso
Atlanti, atlanti massimali, strutture differenziabili. Varietà differenziabili. Germi di funzioni. Derivazioni. Spazio tangente ad una varietà differenziabile in un punto. Applicazioni, immersioni locali, immersioni e sottovarieta’, sommersioni. Campi di vettori e fibrato tangente. Flussi locali e campi vettoriali. La parentesi di Poisson e la derivata di Lie. Fibrati. Equivalenza debole e forte tra fibrati e teorema di struttura. Operazioni sui fibrati vettoriali, con particolare riferimento al prodotto tensore di fibrati. Metriche lungo le fibre di un fibrato vettoriale. Varieta’ riemanniane. I fibrati delle forme differenziali su una varietà differenziabile. Costruzione dei gruppi di Coomologia di deRham di una varietà differenziabile. Connessioni. Curvatura di una varieta’. La connessione di Levi-Civita.