Funzioni di una variabile reale a variazione limitata e assolutamente continue. Spazi di Hilbert: proprieta’ geometriche e topologiche; funzionali ed operatori lineari, limitati e compatti; teorema dell'alternativa; autovalori di un operatore simmetrico compatto. Convergenza puntuale della serie di Fourier. Teoria L2 per la trasformata di Fourier. Cenni sulle distribuzioni. Proprieta’ delle funzioni armoniche. Problemi al contorno per l'equazione di Laplace. Autovalori dell'operatore di Laplace
Dispense (in italiano) del corso a cura del prof. Magnanini
H. Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore, Napoli.
Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
L.C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
P. Garabedian, Partial Differential Equations, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, USA.
Lieb-Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
W. Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, Torino.
Obiettivi Formativi
Conoscenze: Il corso si propone di integrare le conoscenze di Analisi Reale e di fornire gli strumenti di base di Analisi Funzionale ed Analisi Armonica necessari sia per l'apprendimento in altre discipline matematiche che per fare ricerca in ambito matematico.
Competenze acquisite Oltre ad apprendere i concetti e le tecniche esposti nel corso, lo studente alla fine del corso dovrebbe essere in grado di applicarli a situazioni analoghe di media difficolta'.
Prerequisiti
Corsi vincolanti: Analisi III, Geometria II.
Metodi Didattici
Numero di ore totali del corso: 225
Numero di ore per studio personale e altre attività formative di tipo individuale: 162
Numero di ore relative alle attività in aula: 63
Altre Informazioni
Orario di ricevimento
Lunedi’, 14.00-16.00
Giovedi’, 15.30-16.30
Modalità di verifica apprendimento
Prova orale.
Programma del corso
Funzioni a variazione limitata (BV) ed assolutamente continue.Discontinuita’ di una funzione BV. Numeri del Dini. Derivabilita’ quasi ovunque di una funzione BV. Funzioni assolutamente continue e teorema fondamentale.Spazi di HilbertTeorema della proiezione. Sistemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Completezza di un sistema ortonormale. Funzionali lineari e convergenza debole. Teorema di rappresentazione. Teorema di Banach-Alaoglu. Teoremi di Stampacchia e di Lax-Milgram. Teorema di Banach-Steinhaus. Teorema dell'applicazione aperta. Operatori compatti. Teorema dell'alternativa di Fredholm. Spettro di un operatore simmetrico e compatto.Serie e trasformata di Fourier.Polinomi trigonometrici. Serie e coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di Bessel. Lemma di Riemann-Lebesgue. Nucleo di Dirichlet. Criteri del Dini e di Jordan. Convergenza uniforme della serie di Fourier. Completezza del sistema trigonometrico nello spazio delle funzioni di quadrato sommabile. Identita’ di Parseval. Altri tipi di convergenza. Nuclei di Fejer e di Poisson. Approssimazione uniforme mediante polinomi: teorema di Weierstrass. Trasformata di Fourier di una funzione sommabile. Comportamento della trasformazione di Fourier rispetto a dilatazioni, traslazioni, rotazioni e convoluzioni. Lo spazio di Schwarz. Derivazione e trasformata. Trasformata di una Gaussiana. Teorema di Plancherel ed identita’ di Parseval. Definizione di trasformata di Fourier in nello spazio delle funzioni di quadrato sommabile. Formula di inversione. Nuclei di sommabilita': Dirichlet, Fejer, Gauss-Weiestrass, Abel-Poisson. Trasformata del nucleo di Poisson. La formula di addizione di Poisson. Soluzione di alcuni problemi al contorno per le equazioni a derivate parziali mediante la trasformata di Fourier. Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace e dell'equazione del calore. DistribuzioniTopologia nello spazio delle funzioni infinitamente differenziabili a supporto compatto. Derivata distribuzionale. Definizione di spazio di Sobolev. Operazioni sulle distribuzioni. Distribuzioni a supporto compatto. Teorema fondamentale sulle distribuzioni. Distribuzioni temperate.Funzioni armoniche Funzioni armoniche. Equazione di Poisson nello spazio euclideo e sua risoluzione. Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace. Proprieta’ della media per le funzioni armoniche. Principio di massimo. Unicita’ del problema di Dirichlet. Principio di Hopf. Unicita’ per il problema di Neumann. Regolarita’ delle funzioni armoniche. Teorema di Liouville. Disuguaglianza di Harnack. Teoremi di convergenza di Harnack. Inversione per raggi vettori reciproci e trasformazione di Kelvin. Teoremi di esistenza per i problemi di Dirichlet e di Neumann. Identita’ di Stokes e definizione della funzione di Green. Formula di rappresentazione per la soluzione del problema di Dirichlet. Simmetria della funzione di Green. Funzione di Green e del nucleo di Poisson per il semispazio e per la sfera. Esistenza della funzione di Green. Funzioni subarmoniche e superarmoniche e metodo di Perron per il problema di Dirichlet in domini limitati. Funzioni barriera. Punti regolari ed eccezionali. Principio di Dirichlet. Conversione di un problema di Dirichlet o di Neumann in un'equazione integrale. Autovalori ed autofunzioni dell'operatore di Laplace.