Olomorfia, conformalita’. Funzioni elementari. Teoria di Cauchy-Goursat. Serie di potenze, zeri, prolungamento analitico. Stime di Cauchy. Successioni di funzioni olomorfe. Liouville, applicazione aperta, massimo modulo, Lemma di Schwarz. Formule di Cauchy globali, omotopia. Serie di Laurent, singolarita’, meromorfia. Residui, Principio dell'argomento, teoremi di Rouche’, di Hurwitz e di Riemann. Cenni a funzioni armoniche, teoria di Runge, teoria geometrica delle funzioni, dinamica olomorfa.
L.V. Ahlfors: Complex Analysis. McGraw-Hill, NewYork, 1979 (Terza ed.).
C.A. Berenstein, R. Gay: Complex variables. Springer, NewYork-Berlin, 1991.
J.B. Conway: Functions of one complex variable. Springer, NewYork-Berlin, 1978 (Seconda ed.).
P. Dolbeault: Analyse complexe. Masson, Paris, 1990.
W. Fisher, I. Lieb: Functionentheorie. Vieweg, Braunsschweig, 1980.
T.W. Gamelin: Complex Analysis. Springer, NewYork, 2001.
R.E. Greene, S.G.Krantz: Function theory of one complex variable.AMS, Providence, 2002.
Il Docente mette a disposizione appunti delle lezioni.
Obiettivi Formativi
Conoscenze: Il corso fornisce le nozioni fondamentali della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa e delle sue applicazioni.
Competenze acquisite Al termine del corso, lo studente avra’ acquisito familiarita’ con i risultati di base della teoria delle funzioni complesse e dei collegamenti ad altri ambiti della Geometria, dell’Analisi e dell’Algebra.
Capacità acquisite al termine del corso: Le competenze acquisite nel corso costituiscono la base formativa di analisi complessa necessaria, oltre che per l’approfondimento dell’Analisi e della Geometria complesse,per affrontare le questioni di teoria delle funzioni olomorfe che emergono in Algebra e Teoria dei Numeri, Analisi, Geometria e nelle applicazioni della matematica.
Metodi Didattici
Numero di ore totali del corso: 225
Numero di ore per studio personale e altre attivita’ formative di tipo individuale: 162
Numero di ore relative alle attività in aula: 63
Altre Informazioni
Orario di ricevimento
Prof. Giorgio PATRIZIO Martedi’, ore 15.30 (Dip. Di Matematica “U. Dini”) e su appuntamento (inviare una mail a patrizio@math.unifi.it)
Modalità di verifica apprendimento
L’esame prevede una prova scritta e un colloquio.
Programma del corso
Numeri complessi e topologia di C. Funzioni olomorfe e conformalita’. Serie di potenze, funzioni elementari. Integrazione lungo le curve, Teorema di Cauchy-Goursat, formula di Cauchy e conseguenze. Sviluppi in serie di potenze, zeri di funzioni olomorfe, prolungamento analitico. Diseguaglianze di Cauchy. Successioni di funzioni olomorfe. Teorema di Liouville, Teorema dell'applicazione aperta. Principio del massimo modulo. Lemma di Schwarz. Versioni globali della formula di Cauchy, omotopia . Teoremi di Runge. Serie di Laurent e singolarita’ isolate. Sfera di Riemann e funzioni meromorfe. Residui e applicazioni al calcolo di integrali, Principio dell'argomento, teorema di Rouche’, teorema di Hurwitz. Rappresentazione conforme e teorema di Riemann.Applicazioni della geometria differenziale alla teoria delle funzioni.Elementi di teoria delle funzioni armoniche.Cenno a problemi di dinamica olomorfa.