Sistemi vincolati: classificazione dei vincoli, equazioni di Lagrange di I specie. Sistemi olonomi: equazioni di Lagrange di II specie. Forze potenziali, giroscopiche, dissipative. Potenziali generalizzati. Trasformata di Legendre e equazioni canoniche di Hamilton. Integrali primi e parentesi di Poisson.Sistemi Hamiltoniani.Trasformazioni canoniche, matrici simplettiche generalizzate, funzioni generatrici. Equazione di Hamilton-Jacobi.
Il corso intende presentare i principali aspetti della formulazione lagrangiana e hamiltoniana della meccanica analitica. Le competenze da acquisire consistono nella descrizione geometrica ed analitica del moto di sistemi discreti e nella capacità di affrontare alcuni problemi classici. Le capacità al termine del corso devono permettere di utilizzare le conoscenze della geometria e dell'analisi per formulare il problema del moto di un sistema secondo l'approccio lagrangiano ed hamiltoniano.
Metodi Didattici
Numero di ore relative alle attività in aula: 48
Modalità di verifica apprendimento
Prova orale da tenersi in uno degli appelli ufficiali (almeno otto).
Programma del corso
Sistemi vincolati: generalità ed equazioni di moto. Vincoli e loro classificazione. Velocità possibile e velocità virtuale. Forze effettive e forze vincolari. Potenza e lavoro. Vincoli ideali e equazione generale della dinamica Equazioni di Lagrange di prima specie. Principio di D’Alembert.Sistemi olonomi: cinematica ed equazioni di moto, lavoro ed energia. Coordinate lagrangiane. Spazio tangente e spazio normale. Velocità e accelerazione di un sistema olonomo. Energia cinetica nei sistemi olonomi.Sistemi olonomi: le equazioni di moto. Studio del sistema di equazioni di Lagrange del secondo tipo. Sistemi olonomi: lavoro e energia. Il bilancio energetico. Equilibrio dei sistemi autonomi, stabilità, funzione di Liapunov. Piccole oscillazioni. Forze potenziali, giroscopiche, dissipative. Potenziali generalizzati. Il potenziale elettromagnetico. La trasformazione duale di Legendre. La funzione Hamiltoniana e le equazioni di Hamilton. Equazioni di Routh. Spazi simplettici e parentesi di Poisson. Campi vettoriali Hamiltoniani. Il teorema del trasporto. Invarianti integrali.La conservazione del volume in un sistema hamltioniano. Sistemi Hamiltoniani autonomi.Trasformazioni di punto estese allo spazio delle fasi Hamiltoniano. Una condizione sufficiente di canonicità.Trasformazioni canoniche e invariante integrale di Poincaré –Cartan. Condizioni equivalenti di canonicità. Trasformazioni libere. Vari tipi di funzioni generatrici. Matrici simplettiche e matrici simplettiche generalizzate. Matrice Jacobiana di una trasformazione canonica. Trasformazioni canoniche e parentesi di Poisson. Equazione di Hamilton–Jacobi. La funzione principale di Hamilton. Canonicità del flusso hamiltoniano. Il metodo di separazione delle variabili. Sistemi hamiltoniani integrabili. Il teorema di Liouville sull’integrabilità.