B005502 - ANALISI MATEMATICA III

Teoria della misura e dell’integrale di Lebesgue. Alcuni risultati sulle funzioni convesse. Spazi Lp. Confronti tra convergenze.

R. Magnanini, Dispense di Analisi Matematica III, scaricabili da http://web.math.unifi.it/users/magnanin/Istit/a3gsm11.pdf

Fusco-Marcellini-Sbordone, Analisi Matematica II, Liguori editore, Napoli.

Lieb-Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.

Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, Torino.

Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore, Napoli.

Giusti, Analisi Matematica 2, Boringhieri, Torino.

DiBenedetto, Real Analysis, Birkhauser, Boston, MA, USA.

Conoscenze: Le idee fondamentali dell'analisi reale; in particolare, le nozioni di misura di insiemi e di integrale sulla base dei principi stabiliti per la teoria di Lebesgue all'inizio del Novecento. Le proprietà geometriche e topologiche degli spazi di Lebesgue di funzioni con potenza sommabile.

Competenze acquisite: Familiarità con le tecniche proposte, come per esempio i teoremi di convergenza, di Fubini, Ascoli-Arzelà, Riesz, Banach-Alaouglu, e con qualche loro applicazioni.
Capacità acquisite (al termine del corso): Lo studente deve essere in grado di enunciare, dimostrare e applicare i principali risultati dell'analisi reale e della teoria degli spazi di Lebesgue e di risolvere esercizi e problemi ad esse inerenti.

Corsi vincolanti: Analisi Matematica I and II, Geometria I.

Frequenza delle lezioni ed esercitazioni: Raccomandata
Strumenti a supporto della didattica UniFi E-Learning: http://e-l.unifi.it
http://web.math.unifi.it/users/magnanin/Istit/a310.html

Orario di ricevimento:
Su appuntamento.
Dipartimento di Matematica "Ulisse Dini"
Viale Morgagni, 67/a
50134 - Firenze (FI)
Tel: 055 4237164 Fax: 055 4237165
rolando.magnanini@unifi.it,rolando.magnanini@math.unifi.it

Scritto ed orale.

Teoria della misura e dell'integrale di Lebesgue.
Misura di aperti e compatti nello spazio euclideo e sue proprietà.
Insiemi Lebesgue misurabili e loro misura.
Proprietà fondamentali degli insiemi misurabili (unione numerabile, intersezione e differenza).
Additività numerabile della misura di Lebesgue.
Successioni di insiemi misurabili.
Esempi: insieme Lebesgue misurabile non misurabile secondo Peano-Jordan; insieme e funzione di Cantor; insieme aperto di misura piccola con frontiera di misura infinita; insieme di Vitali (non misurabile secondo Lebesgue).
Spazi misurabili, sigma-algebre, misure positive.
Esempi di misure: misura che conta, delta di Dirac.
Funzioni misurabili e loro proprietà.
Funzioni semicontinue.
Funzioni semplici.
Approssimazione di funzioni misurabili con funzioni semplici.
Integrale di una funzione misurabile non negativa e proprietà elementari.
Teorema di Beppo Levi sulla convergenza monotona.
Lemma di Fatou.
Additività numerabile dell'integrale di funzioni non negative.
Integrale di funzioni sommabili e sue proprietà.
Assoluta continuità dell'integrale.
Teorema di Lebesgue della convergenza dominata.
Confronto tra integrale di Riemann ed integrale di Lebesgue.
I teoremi di Fubini e Tonelli.
Teorema di Carathéodory.
La misura di Hausdorff.

Risultati sulle funzioni convesse.
Funzioni convesse e concave di una variabile reale e loro proprietà rispetto a limite ed ordine.
Monotonia del rapporto incrementale di una funzione convessa.
Derivate di funzioni convesse.
Retta di supporto.
Disuguaglianze di Jensen e Young. Medie aritmetica e geometrica.

Spazi Lp.
Disuguaglianza di Holder.
Disuguaglianza di Minkowski.
Estremo superiore essenziale e spazio delle funzioni essenzialmente limitate.
Lp è uno spazio lineare normato.
Lp è completo.
Definizioni di spazio di Banach e di Hilbert.
Disuguaglianze di Clarkson e uniforme convessità.
Differenziabilità della norma.
Proiezione su insiemi chiusi e convessi.
Funzionali lineari e continui su Lp e convergenza debole.
I funzionali lineari separano.
Semicontinuità inferiore della norma.
Il duale di Lp: teorema di rappresentazione di Riesz.
Convoluzioni. Disuguaglianza di Young con q=1 e p=r.
Approssimazione mediante funzioni semplici e funzioni C-infinito a supporto compatto.
Supporto di una funzione misurabile.
Separabilità di Lp.
Gli insiemi limitati di Lp sono debolmente compatti.
Le convoluzioni di funzioni in spazi duali sono continue.
Gli spazi L1 e L-infinito.
Il teorema di Ascoli-Arzelà.

Confronti tra convergenze:
Teorema di Egorov-Severini.
Teorema di Lusin.
Convergenza in misura.
Confronti tra convergenze: in misura, quasi ovunque, in norma Lp e debole in Lp.