Introduzione all'analisi funzionale: operatori su spazi di Hilbert. Trasformata di Fourier. Distribuzioni. Funzioni di variabile complessa: teorema di Cauchy, sviluppo in serie di Taylor e di Laurent, teorema dei residui, calcolo dei residui nei poli, lemma di Jordan. Trasformata di Laplace.
M. Ablowitz e A. Fokas, "Complex Variables - Introduction and Apllications", Cambridge Texts in Applied Mathematics.
G. Cosenza, "Metodi Matematici della Fisica", Bollati Boringhieri.
L. Debnath e P. Mikusinski, "Hilbert Spaces with Applications", Elsevier.
G. Pradisi, "Lezioni di metodi matematici della fisica", Edizioni della Normale.
W. Rudin, "Real and Complex Analysis", McGraw-Hill.
Esercizi: M.L. Krasnov, A.I. Kiselev e G.I. Makarenko, "Funzioni di variabile complessa e loro applicazioni", MIR 1981.
R. Shakarchi, "Problems and solutions for complex analysis", Springer 1999.
M.R. Spiegel, "Analisi di Fourier con applicazioni alle equazioni alle derivate parziali", collana Schaum.
M.R. Spiegel, "Laplace transforms", collana Schaum.
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Metodi matematici per risolvere problemi di fisica matematica e formalismo matematico della Meccanica quantistica.
Competenze acquisite:
Analisi Complessa e Analisi Funzionale
Capacità acquisite al termine del corso:
Risolvere integrali col metodo dei residui, trasformate di Fourier e di Laplace, usare le distribuzioni, risolvere equazioni differenziali.
Prerequisiti
Corsi vincolanti: Analisi Matematica I, Geometria.
Metodi Didattici
CFU: 6
Numero di ore totali del corso: 150
Numero di ore relative alle attività in aula: 52
Modalità di verifica apprendimento
Prova scritta e esame orale.
Programma del corso
Spazi di Hilbert, operatori su spazi di Hilbert, spettro degli operatori, teorema spettrale. Funzioni di Green, problemi di Sturm-Liouville.
Trasformata di Fourier in L1 e L2. Distribuzioni, distribuzioni temperate, trasformata di Fourier di distribuzioni temperate.
Funzioni di variabile complessa: olomorfia, integrazione, teorema di Cauchy, sviluppo in serie di Taylor e di Laurent, teorema dei residui, calcolo dei residui nei poli, lemma di Jordan, prolungamento analitico.
Trasformata di Laplace.