Insegnamento mutuato da: B012965 - MODELLI NUMERICI PER LA SIMULAZIONE Laurea Magistrale in MATEMATICA Curriculum APPLICATIVO
Lingua Insegnamento
Italiano
Contenuto del corso
Equazioni alle differenze, stabilita' delle soluzioni, metodi lineari multistep per equazioni differenziali ordinarie. Funzioni di matrici, successioni di funzioni di matrici, matrici positive. Sistemi lineari. Sistemi nonlineari, linearizzazione, funzioni di Lyapunov. Problemi conservativi. Il metodo delle linee, spettro di una famiglia di matrici, applicazione alle equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico ed iperbolico, ed equazioni di trasporto e diffusione
- Dispense del docente.
- L. Brugnano, D. Trigiante. Solving Differential Problems by Multistep Initial and Boundary Value Methods. Gordon and Breach Science Publ., 1998.
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Conoscenze riguardo ai sistemi dinamici continui e discreti ed ai metodi numerici per equazioni differenziali.
Competenze acquisite:
Capacita' di implementare su calcolatore i metodi numerici di base per equazioni differenziali.
Capacita’ acquisite al termine del corso:
Capacita' di analizzare e simulare sistemi dinamici continui e discreti.
Prerequisiti
Funzioni di piu' variabili; matrici; polinomi; metodi numerici di base.
Metodi Didattici
Numero di ore totali del corso: 225
Numero di ore per studio personale e altre attivita’ formative di tipo individuale: 153
Numero di ore relative alle attivita’ in aula: 72
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni:
Non obbligatoria (ma raccomandata)
Strumenti a supporto della didattica:
http://web.math.unifi.it/users/brugnano/Corsi/index.htm
Orario di ricevimento:
L'orario di ricevimento e’ consultabile alla pagina web
http://web.math.unifi.it/users/brugnano/Corsi/ORARIO%20RICEVIMENTO.htm
Equazioni alle differenze: generalita'; operatori differenza e shift; potenze fattoriali; casi particolari di equazioni alle differenze; principi del confronto.
Equazioni alle differenze lineari: soluzione generale; il caso di equazioni a coefficienti costanti; stabilita' delle soluzioni; criteri di Schur; applicazioni ad alcuni modelli in economia; cenni sulle equazioni differenziali lineari.
Metodi lineari multistep: generalita'; condizioni di ordine e consistenza; 0-stabilita' e convergenza; assoluta stabilita' e A-stabilita'; barriere di Dahlquist; boundary-locus; L-stabilita'.
Funzioni di matrici: polinomio minimale; funzioni di matrice; matrici componenti; successioni di funzioni di matrici; forma canonica di Jordan.
Sistemi lineari: sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari e sistemi di equazioni alle differenze lineari; sistemi dinamici nel piano delle fasi; risoluzione numerica di equazioni differenziali; stabilita', condizionamento e stiffness; sistemi dinamici positivi; matrici positive ed M-matrici; teorema di Perron-Frobenius; applicazioni al modello di popolazione con struttura di eta', al modello di corsa agli armamenti, al pagerank di Google.
Sistemi nonlineari: sistemi nonlineari di equazioni alle differenze e sistemi nonlineari di equazioni differenziali ordinarie; processo di linearizzazione; il caso di stabilita' marginale; funzioni di Lyapunov; applicazioni; ancora sul concetto di stiffness.
Dai punti di equilibrio agli strani attrattori: modello preda-predatore; le equazioni di Lorenz; equazione logistica continua e discreta.
Metodi Runge-Kutta: derivazione, ordine e analisi di stabilita' lineare (cenni); sviluppo di Fourier locale; problemi Hamiltoniani.
Risoluzione numerica di equazioni alle derivate parziali: matrici di Toeplitz a banda; spettro di una famiglia di matrici; equazione del calore; equazione delle onde; equazione di trasporto e diffusione.
Nozioni ausiliarie di algebra lineare: il prodotto di Kronecker e sue applicazioni.