La teoria elementare degli insiemi negli assiomi classici di Zermelo e Fraenkel. L’assioma della scelta: vari enunciati e conseguenze. Equiscomponibilità ed equisezionabilità. Il teorema di Banach-Tarski. Costruzioni con riga e compasso. Costruzioni col piegamento della carta. Paradossi matematici. Le curve algebriche che risolvono problemi classici..
M. Barlotti “Complementi di Algebra” – appunti disponibili nella pagina e-learning dell’insegnamento.
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Gli assiomi di Zermelo e Fraenkel. Il teorema di Banach-Tarski. Caratterizzazione dei numeri costruibili con riga e compasso. Alcune costruzioni col piegamento della carta.
Competenze:
La costruzione assiomatica della teoria degli insiemi. Costruzioni con riga e compasso. Costruzioni col piegamento della carta. Interpretazione di alcuni paradossi matematici. Il metodo delle coordinate per la soluzione di problemi matematici.
Capacità acquisite al termine del corso:
Saper costruire gli insiemi numerici per via assiomatica. Saper suddividere in trenta parti una sfera e costruire con quei pezzi due copie isometriche della stessa sfera. Eseguire costruzioni con riga e compasso. Saper trisecare un angolo col piegamento della carta. Saper usare il metodo delle coordinate per risolvere problemi geometrici e più in generale matematici.
Prerequisiti
Nessuno. Raccomandata la frequenza di Algebra I e II e una certa familiarità con il metodo delle coordinate nel piano.
Metodi Didattici
Lezioni frontali e (per la parte relativa alle curve algebriche che risolvono problemi classici) attività seminariali.
Altre Informazioni
La frequenza delle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Modalità di verifica apprendimento
Per gli studenti frequentanti, il 50% del voto sarà assegnato in base alle attività seminariali e il 50% sarà assegnato in base a un colloquio orale sulla restante parte del programma. Per gli studenti non frequentanti, il voto sarà assegnato in base a un colloquio sull’intero programma svolto.
Programma del corso
La teoria degli insiemi negli assiomi classici di Zermelo e Fraenkel. Costruzione degli insiemi N, Z, Q. Paradossi matematici. Il paradosso di Banach-Tarski. Caratterizzazione dei numeri costruibili con riga e compasso. Costruzioni geometriche col piegamento della carta.
Introduzione alle equazioni. diofantine. Equazioni pitagoree. Teorema cinese dei resti. Equazioni polinomiali in una variabile a coefficienti razionali.
Equazioni ellittiche, gruppo di Poincaré, rango di Mordell. Esempi di ecurve ellittche con rango elevato. Introduzione al Decimo Problema di Hilbert. Funzioni ricorsive e diofantee. Non esistenza di algoritmo finito per decidere l'esistenza di soluzioni intere di eq. polinomiali in più indeterminate.