Numeri reali. Successioni e funzioni reali. Limiti di successioni e di
funzioni. Funzioni elementari. Infiniti ed infinitesimi. Funzioni continue.
Funzioni derivabili e proprietà. Minimi e massimi relativi. Studio del grafico di una funzione. Formula di Taylor. Integrale di Riemann.
Integrazione delle funzioni continue. Teorema fondamentale del calcolo
integrale. Primitive. Integrale indefinito. Serie numeriche. Integrali impropri.
Sviluppare la capacità logica e di ragionamento che sta alla base del Calcolo e della Matematica in genere.
Nello specifico raggiungere competenze relativamente a elementi del calcolo discreto, differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale (derivate e rette tangenti, problemi di minimo, integrali e aree, evoluzione temporale dello stato di un sistema).
Questi sono di immediato utilizzo nello studio delle altre discipline
tecnico-scientifiche e inoltre di preparazione ai successivi insegnamenti
di Analisi Matematica II, Probabilità/Statistica, il cui ruolo è cruciale
nell'acquisizione degli strumenti matematici necessari
a tutti gli insegnamenti caratterizzanti il corso di studio.
Prerequisiti
Basi della logica e degli strumenti di calcolo
Metodi Didattici
Lezioni ed esercitazioni frontali, esercitazioni di gruppo e singole.
Altre Informazioni
Le informazioni relative al corso e il materiale didattico sono presenti sulla piattaforma e-learning di ateneo del corso.
Modalità di verifica apprendimento
L'esame si articola in due parti: una prova scritta basata sulla risoluzione di esercizi e una prova orale. Sono previste due prove intermedie (entrambe devono essere superate) per l'esonero della parte scritta.
L'esame verte sulla verifica delle competenze apprese dallo studente nell'ambito dell'Analisi Matematica: la capacità di risolvere problemi ed esercizi con corretto formalismo e logica, capacità di presentare i passi di una dimostrazione.
Per quello che riguarda la struttura delle prove, la prova scritta, della durata di 3 ore, e' composta da 4 esercizi che coprono tutti gli argomenti del corso. Durante l'esame orale, mediamente della durata di 45 minuti, allo studente viene richiesto di esporre e discutere 2-3 argomenti specifici del programma (enunciati e dimostrazioni di risultati trattati in aula) e risolvendo, eventualmente, 1-2 esercizi.
Programma del corso
Numeri reali. Definizione e proprietà. Estremo superiore e inferiore di un insieme.
Successioni numeriche: definizione di limite, unicità del limite, teoremi di confronto, forme indeterminate e limiti notevoli. Il numero di Nepero.
Funzioni di una variabile reale: definizione di dominio, codominio, immagine. iniettività, suriettività, invertibilità. Funzioni pari, dispari e periodiche. Limiti di funzioni: definizione e collegamento con limiti di successioni. Funzioni continue: definizione e principali teoremi
(Weirstrass, teorema degli zeri e dei valori intermedi).
Derivate: definizione e principali teoremi (Fermat, Rolle e Lagrange).
Integrali indefiniti: primitive e metodi di integrazione.
Integrali di Riemann. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale.
Area di figure piane e calcolo di volumi di corpi tridimensionali. Formula di Taylor.
Integrali impropri e serie numeriche.