1) Enrico Giusti, Analisi matematica 2, Boringhieri
-- usato per: spazi funzionali, successioni e serie di funzioni, funzioni di più variabili, equazioni differenziali ordinarie
2) Marco Bramanti, Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli
--usato per ottimizzazione libera e vincolata, integrazione multipla, campi vettoriali e 1-forme differenziali, integrali curvilinei, superfici parametriche, integrali di superficie e flusso
** In alternativa:
i) Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica Vol. 2 (Nuova edizione 2015), Zanichelli Ed. (Attenzione: il calcolo differenziale in piu' variabili e' nel Vol. 1)
ii) Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi matematica 2, Liguori, 2016
*** Altri testi consigliati, facilmente reperibili nelle biblioteche di ateneo:
- Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli, Analisi matematica, McGraw-Hill (comprende sia Analisi 1 che Analisi 2)
- Marco Bramanti, Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli Ed.
- Franco Conti, Paolo Acquistapace, Anna Savojni, Analisi Matematica: teoria e applicazioni, McGraw-Hill, 2001 (fuori catalogo, credo)
- Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica, Note di analisi matematica. Funzioni di piu' variabili, Pitagora Ed., 2006
- Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976
**** Esercizi/Problemi/Approfondimenti:
- Boris P. Demidovic, Esercizi e Problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010
- Marcellini P. – Sbordone C., Esercitazioni di Matematica 2, Liguori Editore.
- Salsa S. – Squellati A., Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2011.
- Catino G. – Leone C., Quesiti a risposta multipla di Analisi Matematica 2, Esculapio, 2020.
- Biella M., Analisi Matematica 2 - Esercizi, Pearson
Obiettivi Formativi
Conoscenze: elementi fondamentali di calcolo differenziale ed integrale in più variabili; curve e superfici; elementi della teoria delle Equazioni Differenziali Ordinarie; successioni e serie di funzioni.
Competenze: autonomia nel proporre, articolare e sostenere con rigore argomentazioni per la risoluzione di problemi attinenti ai temi elencati (cfr. Conoscenze); utilizzo sicuro di simboli e risultati principali; controllo degli errori nel calcolo.
Abilità/capacità: formalizzazione di problemi fisico/meccanici in termini analitici; derivazione di semplici modelli nel continuo e nel discreto, e loro trattazione. Consolidata capacità di comunicazione nella scrittura e nell'esposizione orale. Equilibrio tra autonomia nello studio individuale e partecipazione attiva nel gruppo.
Prerequisiti
Calcolo Differenziale e Integrale per funzioni reali in una variabile. Successioni e serie numeriche. Algebra lineare e geometria analitica.
Didattica frontale (in aula) che prevede sia lezioni di teoria che esercizi svolti dal docente (in assenza di rigida separazione tra teoria e pratica).
Esercizi, problemi, approfondimenti (o spunti per approfondimenti) forniti - generalmente, a cadenza settimanale - per mezzo di esercitazioni svolte dai tutor.
Altre Informazioni
CFU: 9
Modalità di verifica apprendimento
La prova d'esame finale del corso consiste in una prova scritta comprendente alcuni quesiti su temi chiave (cfr. Contenuti e Programma esteso), e - se ammessi - in una successiva prova orale. La prova scritta suddetta potrà essere anticipata affrontando due prove in itinere.
Gli appelli sono distinti tra loro: salvo diversa indicazione da parte della docente, la prova orale non può essere procrastinata ad altri appelli (aggiornamenti al riguardo verranno dati direttamente in aula).
Programma del corso
Analisi Matematica II (Programma dettagliato)
Lo spazio R^n: prodotto scalare, norma euclidea, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Prodotto vettoriale. Spazi metrici. Spazi normati. Spazi di Banach e di Hilbert.
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Passaggio al limite sotto il segno di integrale, altre implicazioni della convergenza uniforme. Serie di funzioni, criterio di Weierstrass, convergenza totale e uniforme. Serie di potenze, raggio di convergenza. Convergenza assoluta, totale, uniforme. Serie di Taylor e funzioni analitiche.
Funzioni di più variabili, a valori reali: grafici, insiemi di livello. Elementi di topologia in R^n: insiemi aperti, insiemi chiusi, punti interni, punti d'accumulazione.
Limiti e continuità. Proprietà delle funzioni continue: il Teorema di Weierstrass, il Teorema degli zeri.
Derivate direzionali, derivate parziali. Approssimazione lineare e differenziabilità. Piano tangente e vettore normale al grafico. Vettore gradiente, differenziale; il Teorema del differenziale totale. Derivazione di funzioni composte: casi di rilievo, regola della catena.
Derivate di ordine superiore e approssimazioni successive: funzioni di classe C^k, matrice Hessiana, Teorema di Schwarz. Formula di Taylor del secondo ordine.
Ottimizzazione libera: punti di estremo relativo, il Teorema di Fermat.
[Cenni: Forme quadratiche in R^n, classificazione: forme definite positive (negative), semidefinite positive (negative), indefinite. Test degli autovalori.] Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l'esistenza di punti di massimo/minimo relativo o di sella per una funzione di classe C^2.
Funzioni definite implicitamente: Teorema delle funzioni implicite.
Funzioni di piu' variabili a valori vettoriali: generalità, matrice Jacobiana. Superfici in forma parametrica: sostegno, superfici regolari, piano tangente; superfici regolari a pezzi. Esempi. Cambi di coordinate, invertibilità locale e globale di trasformazioni da un aperto di R^n in R^n.
Ottimizzazione vincolata: Il Teorema dei moltiplicatori dei Lagrange.
Integrale secondo Riemann. Integrale di funzioni semplici in un rettangolo; integrale di funzioni limitate a supporto compatto. Caratterizzazione dell'integrabilità. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. Insiemi di misura nulla, esempi; caratterizzazione degli insiemi misurabili. Funzioni integrabili in insiemi limitati misurabili. Il calcolo degli integrali: Teorema di Fubini. Insiemi semplici (o normali) rispetto d un asse, formule di riduzione per integrali doppi e tripli. Teorema della media integrale. Applicazioni fisico/meccaniche: calcolo di baricentri e di momenti di inerzia. Cambiamento di variabili negli integrali multipli. Coordinate polari; coordinate cilindriche e sferiche.
[Cenni: Integrali impropri in più variabili.]
Curve in forma parametrica: sostegno, orientazione, curve semplici, curve chiuse. Casi particolari di curve piane: grafici di funzioni continue in un intervallo, curve in forma polare. Vettore velocità e retta tangente; curve regolari e regolari a tratti. Parametrizzazioni equivalenti. Curve rettificabili, lunghezza di una curva; formula per la lunghezza di una curva C^1 (o regolare a tratti). Parametro lunghezza d'arco o ascissa curvilinea. Integrali curvilinei (di prima specie). Applicazioni fisiche e geometriche.
Campi vettoriali, 1-forme differenziali. Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva orientata, integrali curvilinei (di seconda specie). Campi conservativi e loro potenziali; forme esatte e loro primitive. Caratterizzazione delle forme esatte. Condizioni necessarie affinché una forma sia esatta in una aperto di R^n: forme differenziali chiuse. In 3D: campi irrotazionali, il rotore. Insiemi stellati, insiemi semplicemente connessi; esempi in R^2 e in R^3. Forme localmente esatte. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza nel piano.
Ancora sulle superfici parametriche: Area di una superficie. Integrali di superficie e di flusso. Il Teorema della divergenza. Formula di Stokes in R^3.
Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO). Ordine e tipo di un'equazione. Il problema di Cauchy. Teorema di esistenza (locale) e unicità; condizione di Lipschitz. Prolungamento delle soluzioni.
EDO lineari del prim'ordine, a coefficienti continui (richiami): formula per l'integrale generale, formula per la soluzione dei problemi di Cauchy associati.
EDO lineari di ordine n omogenee e non omogenee (quasi tutto sarà fatto per il caso n=2): lo spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea associata e' uno spazio vettoriale di dimensione n. Il caso di coefficienti costanti. Ricerca di soluzioni dell'EDO non omogenea: variazione delle costanti, metodo dei coefficienti indeterminati. Equazioni di Eulero.
EDO non lineari del prim'ordine: equazioni a variabili separabili (richiami), equazioni omogenee, equazioni esatte; equazioni riconducibili ad equazioni esatte, fattori integranti. Equazioni di Bernoulli.
N.B.:
I contenuti delle lezioni sono inseriti via via in un "Registro delle lezioni", consultabile dalla piattaforma Moodle e-l 2023-24